こばやし さん ご 新築おめでとうございます！
早速そのご質問のタンスですが、今回のご新築に合わせて新たにご購入されたものなのでしょうか？
といいますのが、もし旧居に既にあった家具で今回のお引越しの業者が2Ｆに上げられずに置いていったものだとすると、私の感覚からするとそれは引越し業者では無いなぁ・・・と思ったからです。
お引越し当日に上げられなかったとしても、後日ユニックやスタッフを別途用意して対応をするのが通常なので・・。（もちろん追加料金が発生するケースはあります）
それはさておき、特定の業者さんの推薦はしておりませんが当サイトの無料見積もりで問合せされてみてはいかがでしょうか？
タンス1点でも結構ですから、「ベランダの強度不足で・・・」と言われた旨を備考欄に書いてみてください。
恐らく大抵の業者さんは一度下見をしたいというはずです。
中にはスタッフを数名増やすだけで安全に通常の吊り上げ作業で対応できるという業者もあるでしょうし、ユニックを使うという業者も有るでしょう。私が思うのは、1Ｆにおいて帰った業者さんがユニック・・・と言ったことはあてにならないと（笑）
まだシーズンが終わりきっていないですし、ユニックを使うとなると私の経験では2～3万掛かるかも分かりません。重機を使わない作業で済むのであれば日時を業者に合わせれば半額くらいで出来ると思います。